Bruchrechnen Regeln leicht erkennen

por Karin Silvina Hiebaum

Bruchrechnen Regeln

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Bruchrechnen Regeln — Die Grundlagen einfach erklärt

Brüche brauchst du, wenn du etwas aufteilst. Stell dir zum Beispiel vor, ihr möchtet euch mit 4 Freunden einen Kuchen teilen. Ihr schneidet den Kuchen also in 4 Stücke. Ein Freund hat keinen Hunger, also esst ihr nur 3 Stücke von 4 Stücken.

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Bruchrechnen Regeln: Grundlagen

Als Bruch schreibst du das so:

\[\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}\]

Mit dem Bruch gibst du also an, dass du nicht etwas Ganzes meinst (z. B. einen ganzen Kuchen). Sondern du möchtest nur einen Teil von dem Ganzen (z. B. 3 Stücke Kuchen).

So schreibst du Brüche auf 

Als Nächstes erfährst du, wie du Brüche aufschreibst. Schau dir dafür den Bruch \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{3}} an:

Bruchrechnung Regeln, Grundlagen
Bruchrechnung Regeln: Grundlagen

Ein Bruch besteht aus einem Zähler (obere Zahl), einem Nenner (untere Zahl) und einem Bruchstrich dazwischen.  Um einen Bruch aufzuschreiben, beantwortest du folgende Fragen:

  • Wie viele Teile wählst du aus? z. B. Wie viele Stücke des Kuchens möchtest du haben? Das schreibst du in den Zähler.
  • Wie viele Teile gibt es insgesamt? z. B. Wie viele Stücke hat der ganze Kuchen? Das schreibst du in den Nenner.

Gut zu wissen: Ein Bruch ist nichts anderes als eine Geteiltaufgabe (Division). Der Bruchstrich ist also das Gleiche wie ein Geteiltzeichen:

3 : 4 = 3/4 = \frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}

Klasse! Jetzt weißt du was Brüche sind und wie du sie aufschreibst.

Brucharten

Es gibt drei verschiedene Arten von Brüchen. Hier erklären wir sie dir:

  1. Echter Bruch
    Bei einem echten Bruch ist der Nenner größer als der Zähler.
    Beispiele: \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{3}}, \frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}, \frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{7}}
     
  2. Unechter Bruch
    Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner.
    Beispiele: \frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{3}}, \frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{2}}, \frac{\textcolor{blue}{9}}{\textcolor{red}{4}} 
  3. Gemischter Bruch
    Ein gemischter Bruch besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch.
    Beispiele: 2\frac{3}{4},4\frac{2}{3}, 5\frac{1}{7} 

Gut zu wissen: \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{3}} sprichst du so aus: „Zwei Drittel“.

Bruchrechnen Regeln — Addition ( + )

Schau dir jetzt die erste Regel zur Bruchrechnung an: Die Addition von Brüchen.

Dafür gibt es 3 Schritte: 

  1. Brüche auf einen Nenner bringen
  2. Zähler addieren
  3. Brüche kürzen

Wir erklären dir die Schritte jetzt nacheinander an Beispielen.

Brüche auf einen Nenner bringen

Damit du Brüche addieren kannst, müssen beide Brüche erstmal den gleichen Nenner (untere Zahl) haben. 

Wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben, musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dafür erweiterst du die Brüche. Wichtig ist dabei, dass sich der Wert des Bruchs nicht verändert.

Stell dir vor, du schneidest 1 Pizza in 2 Hälften. Dann schneidest du die Pizza nochmal und hast jetzt 4 Stücke. Eine Hälfte der Pizza ist dann trotzdem noch genauso viel wie 2 von 4 Stücken Pizza.

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Bruchrechnung Regeln: Addition

Schau dir jetzt das 1. Beispiel zum Brüche auf einen Nenner bringen an:

\[\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}} + \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{2}}\]

Hier kannst du den Nenner 2 auf den Nenner 4 bringen. Der 1. Bruch bleibt also gleich und nur den 2. Bruch musst du verändern. Um von dem Nenner 2 auf 4 zu kommen, musst du die 2 mit 2 malnehmen (2 · 2 = 4).

Also rechnest du jetzt den Zähler und den Nenner des 2. Bruchs jeweils mal 2.

1 · 2 = 2

2 · 2 = 4

Deine zwei Brüche heißen nun also:

\[\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}} + \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4}}\]

Beispiel 2:

\[\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{3}} + \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{2}}\]

In diesem Fall kannst du den Nenner 2 nicht auf den Nenner 3 bringen. Deswegen suchst du jetzt einen gemeinsamen Nenner für 2 und 3. Dafür rechnest du 2 mal 3.

2 · 3 = 6

Ein gemeinsamer Nenner von 2 und 3 ist also 6. Das ist der Nenner der beiden neuen Brüche.

\[\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{3}} + \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{2}} = \frac{\phantom{0}}{\textcolor{red}{6}} + \frac{\phantom{0}}{\textcolor{red}{6}} \]

Jetzt musst du nur noch die Zähler der beiden neuen Brüche herausfinden.

Zähler des 1. Bruchs:

Du nimmst den Nenner 3 mit der Zahl 2 mal, um auf den gemeinsamen Nenner 6 zu kommen (3 · 2 = 6). Deswegen rechnest du jetzt auch den Zähler 2 mit der Zahl 2 mal.

2 · 2 = 4

Diese 4 ist jetzt der Zähler des 1. neuen Bruchs:

\[\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{3}} + \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{2}} = \frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{6}} + \frac{\phantom{0}}{\textcolor{red}{6}} \]

Zähler des 2. Bruchs:

Beim 2. Bruch nimmst du den Nenner 2 mit der Zahl 3 mal, um auf den gemeinsamen Nenner 6 zu kommen (2 · 3 = 6). Also rechnest du auch den Zähler 2 mit der Zahl 3 mal.

2 · 3 = 6

Diese 6 ist jetzt der Zähler des 2. neuen Bruchs:

\[\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{3}} + \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{2}} = \frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{6}} + \frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{6}} \]

Gut zu wissen: Du kannst auch mit der Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen einen gemeinsamen Nenner finden.

Brüche addieren

An den zwei Beispielen von gerade erklären wir dir jetzt, wie du Brüche addierst :

Beispiel 1:

\[\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}} + \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4}}\]

Du rechnest jetzt Zähler plus Zähler. Der Nenner bleibt gleich. Er bleibt also einfach stehen.

\[\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}} + \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4}} = \frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{4}}\]
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Brüche addieren Regel

Beispiel 2:

\[\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{6}} + \frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{6}} \]

Auch hier addierst du wieder die beiden Zähler und der Nenner bleibt stehen.

\[\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{6}} + \frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{6}} = \frac{\textcolor{blue}{10}}{\textcolor{red}{6}}\]

Brüche kürzen

Nachdem du die Brüche addiert hast, kannst du den Ergebnisbruch manchmal sogar noch kürzen. Denn je kleiner die Zahlen in deinem Bruch sind, desto besser kannst du mit ihm rechnen. Brüche kannst du kürzen, wenn der Zähler und Nenner durch die gleiche ganze Zahl teilbar sind. Als Ergebnis muss für den Zähler und Nenner auch jeweils wieder eine ganze Zahl herauskommen.

Den Bruch aus Beispiel 1 kannst du nicht kürzen:

\[\frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{4}} = \frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{4}}\]

Aber den Bruch aus Beispiel 2 kannst du kürzen:

\[\frac{\textcolor{blue}{10} : 2}{\textcolor{red}{6} : 2}\]

Denn hier sind Zähler und Nenner durch die Zahl 2 teilbar.

\[\frac{\textcolor{blue}{10} : 2}{\textcolor{red}{6} : 2} = \frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{3}}\]

Manchmal kannst du Brüche sogar mehrmals nacheinander kürzen! Starte also ruhig mit 2 oder 3, wenn es dir schwer fällt, durch größere Zahlen zu teilen. Dann kannst du danach nochmal kürzen. Wenn du dir das Kürzen von Brüchen nochmal genauer anschauen willst, klick dich gleich mal hier rein.

Bruchrechnen Regeln — Subtraktion ( – )

Die nächste Bruchrechenregel ist die Subtraktion von Brüchen. Hier sind die Schritte 1 und 3 die gleichen wie bei der Addition von Brüchen:

  1. Brüche auf einen Nenner bringen
  2. Zähler subtrahieren
  3. Brüche kürzen

Auch bei der Subtraktion von Brüchen müssen die Nenner gleich sein. Wie du Brüche auf einen Nenner bringst, weißt du jetzt schon. Schauen wir uns also direkt an, wie du Brüche subtrahierst .

Beispiel 1:

\[\frac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{8}} - \frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{8}} \]

Du rechnest jetzt Zähler minus Zähler. Wie bei der Addition von Brüchen bleibt auch bei der Subtraktion der Nenner einfach stehen. Er bleibt also gleich.

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Bruchrechnen Regeln: Subtraktion

Beispiel 2:

\[\frac{\textcolor{blue}{10}}{\textcolor{red}{6}} - \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{6}} \]

Auch hier subtrahierst du wieder die beiden Zähler und der Nenner bleibt stehen.

\[\frac{\textcolor{blue}{10}}{\textcolor{red}{6}} - \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{6}} = \frac{\textcolor{blue}{9}}{\textcolor{red}{6}}\]

Den Ergebnisbruch kannst du dann auch nochmal kürzen.

\[\frac{\textcolor{blue}{9} : 3}{\textcolor{red}{6} : 3} = \frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{2}}\]

Bruchregeln — Multiplikation ( · )

Kommen wir als Nächstes zur Bruchregel der Multiplikation von Brüchen .

Brüche kannst du auch malnehmen, wenn sie verschiedene Nenner haben. Anders als bei der Addition und Subtraktion von Brüchen muss der Nenner hier nicht der Gleiche sein.

Beispiel 1:

\[\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}\cdot \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{2}}\]

Du rechnest jetzt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

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Bruchrechnung Regel: Multiplikation

Beispiel 2:

\[\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{5}}\cdot \frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}\]

Auch hier rechnest du wieder Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

\[\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{5}}\cdot \frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}} = \frac{\textcolor{blue}{2}\cdot 3}{\textcolor{red}{5}\cdot{4}} =\frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{20}}\]

Nach dem Multiplizieren von Brüchen kannst du das Endergebnis wieder kürzen.

\[\frac{\textcolor{blue}{6} : 2}{\textcolor{red}{20} : 2} = \frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{10}}\]

Bruchregeln — Division ( : )

Schau dir zum Schluss noch die Bruchregel zur Division an zwei Beispielen an.

Beispiel 1:

\[\frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{4}}: \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{3}}\]

Um Brüche zu teilen, tauschst du den Zähler und den Nenner des 2. Bruchs. Den getauschten Bruch nennst du den Kehrwert . Der 1. Bruch bleibt einfach gleich.

\[\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{3}}\implies \frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{2}}\]

Dann rechnest du den 1. Bruch mal den 2. Bruch. Wie das geht, hast du gerade schon bei der Multiplikation von Brüchen gelernt. Du rechnest also wieder Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

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Bruchrechnung Regel: Division

Beispiel 2:

\[\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{2}}: \frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{5}}\]

Als Erstes tauschst du jetzt wieder den Zähler und Nenner im 2. Bruch.

\[\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{5}}\implies \frac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{3}}\]

Dann nimmst du den 1. Bruch mal den 2. Bruch.

\[\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{2}}: \frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{5}} = \frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{2}}\cdot \frac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{3}} = \frac{\textcolor{blue}{4}\cdot{5}}{\textcolor{red}{2}\cdot{3}} = \frac{20}{6}\]

Auch die Ergebnisse von Divisionen kannst du noch kürzen:

\[\frac{\textcolor{blue}{20}}{\textcolor{red}{6}} : 2 = \frac{\textcolor{blue}{10}}{\textcolor{red}{3}}\]

Klasse! Jetzt kennst du alle Bruchregeln! Alles Wichtige zu den Bruchrechnung Regeln findest du hier nochmal zusammengefasst in einer PDF zum Downloaden und Ausdrucken. So gelingen dir die Bruchregeln garantiert!

Bruchrechnen Regeln — häufigste Fragen

  • Welche Regeln gibt es beim Bruchrechnen?
    Du kürzt Brüche, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividierst. Bei der Addition von Brüchen erweiterst du die Brüche auf den gleichen Nenner. Dann addierst du die Zähler, der Nenner bleibt gleich. Brüche multiplizierst du, indem du Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler multiplizierst.
  • Wie dividiert und multipliziert man Brüche?
    Du multiplizierst einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem du den Zähler mit der natürlichen Zahl multiplizierst. Der Nenner bleibt gleich. Du dividierst einen Bruch durch eine natürliche Zahl, indem du den Nenner mit der natürlichen Zahl multiplizierst. Der Zähler bleibt gleich.

Bruchrechnen Aufgaben

Jetzt weißt du, was Brüche sind und kennst die Regeln! Am besten übst du dein Können als Nächstes an ein paar Bruchrechnen Aufgaben. Eine Auswahl vieler Aufgaben mit Lösungen findest du hier !

Zum Video: Bruchrechnung Aufgaben
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